Базовые логические элементы компьютера

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880–1933), кстати несколько лет работавший в России, писал еще в 1910 году: «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе – система чисто качественных… «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности… правда ли, что, несмотря на существование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?». Созданная позднее М.А. Гавриловым (1903–1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас удивило бы, мы невидим. Но если рассматривать ее при сильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет… В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка также работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.

Схема 1 (составьте таблицу истинности):

1) Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

2) Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.

3) Обратная ситуация. Лампочка не горит.

4) Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Схема 1 (составьте таблицу истинности):

1) Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

2) Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.

3) Обратная ситуация. Лампочка не горит.

4) Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Схема 2 (составьте таблицу истинности).

1) Оба контакта в положении «включено». Ток через лампочку идет и она горит.

2) Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.

3) Обратная ситуация. Лампочка горит.

4) Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Схема 2 (составьте таблицу истинности).

1) Оба контакта в положении «включено». Ток через лампочку идет и она горит.

2) Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.

3) Обратная ситуация. Лампочка горит.

4) Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Схема 3 (составьте таблицу истинности).

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Схема 3 (составьте таблицу истинности).

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Логический элемент (вентиль) компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую операцию.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и только один выход. Чтобы представить два логических состояния — » 1 » и » 0 » в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт. Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий — значению «ложь» («0»).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Источник

Логические основы работы компьютера

Логические основы работы компьютера

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых «ложь» и «истина». Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток.

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал.

Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции: «И», «ИЛИ», «НЕ».

Логический элемент «НЕ» (инвертор)

Простейшим логическим элементом является инвертор, выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот.

У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Говорят также, что элемент «НЕ» инвертирует значение входной двоичной переменной.

Проверь соответствие логического элемента «НЕ» логическому элементу «НЕ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «И» (конъюнктор)

Логический элемент «И» (конъюнктор) выдает на выходе значение логического произведения входных сигналов.

Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе конъюнктора появляется тогда и только тогда, когда поданы сигналы на все входы. На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей. Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если же хотя бы одна из лампочек перегорела, то гирлянда не работает.

Проверь соответствие логического элемента «И» логическому элементу «И». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор)

Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) выдает на выходе значение логической суммы входных сигналов. Он имеет один выход и не менее двух входов. На функциональных схемах он обозначается:

Сигнал на выходе дизъюнктора не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.

На элементарном уровне дизъюнкцию можно представить себе в виде параллельно соединенных выключателей.

Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, если перегорели все лампочки сразу.

Проверь соответствие логического элемента «ИЛИ» логическому элементу «ИЛИ». Воспользуйся тренажером Логические элементы.xlsx

Пример 1.
Составьте логическую схему для логического выражения: F=A \/ B /\ A.

1. Две переменные – А и В.

2. Две логические операции: 1-/\, 2-\/.

Пример 2.
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А/\В\/ ¬(В\/А). Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

1. Переменных две: А и В; 1 4 3 2

2. Логических операций три: /\ и две \/; А/\В\/ ¬ (В\/ А).

3. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4. Вычислим значение выражения: F=1 /\ 0 \/ ¬(0 \/ 1)=0

Источник

Логические элементы компьютера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Основные логические элементы реализуют 3 основные логические операции:

Связь между алгеброй логики и компьютерной техникой также лежит в двоичной системе счисления, которая используется в ЭВМ. Поэтому в устройствах ПК можно хранить и обрабатывать как числа, так и значения логических переменных.

Логический элемент компьютера – это часть электронной схемы, которая выполняет элементарную логическую функцию.

Переключательные схемы

В ЭВМ используются электрические схемы, которые состоят из большого количества переключателей. Переключатель, находясь в замкнутом состоянии ток пропускает, в разомкнутом – не пропускает. Работа таких схем удобно описывается при помощи алгебры логики. В зависимости от состояния переключателя можно регулировать получение или неполучение сигналов на выходах.

Вентили

Среди логических элементов компьютеров выделяют электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие (их называют вентили).

У каждого логического элемента есть условное обозначение, выражающее его логическую функцию, но не указывающее на электронную схему, которая в нем реализована. Такой подход реализован для упрощения записи и понимания сложных логических схем.

Готовые работы на аналогичную тему

Работа логических элементов описывается таблицами истинности.

Триггер

Триггеры и сумматоры состоят из вентилей.

Триггер – важнейшая структурная единица оперативной памяти ПК и внутренних регистров процессора.

Рисунок 3. Кратковременный импульс

Сумматор

Сумматоры широко применяются в арифметико-логических устройствах процессора и отвечают за суммирование двоичных разрядов.

Сумматор – логическая схема, которая способна суммировать 2 одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

Сумматор может находить применение и в других устройствах машины.

Для суммирования двоичных слов длиной от двух бит можно использовать последовательное соединение многоразрядных сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Пример реализации логической схемы

Алгоритм реализации:

С помощью базовых логических элементов реализуются основные операции в порядке их следования:

II – логическое умножение реализуется логическим элементом «И»;

III – логическое сложение реализуется логическим элементом «ИЛИ».

На выходе каждого элемента прописывается логическое выражение, которое реализуется данным элементом, что позволяет осуществить обратную задачу, т.е. по готовой схеме составить логическое выражение, которое реализует данная схема.

Источник

Логические элементы и логические схемы компьютера. 10-й класс

Класс: 10

Цель урока:

дать учащимся представление о том, как в компьютере при помощи логических элементов выполняются арифметические и логические операции.

Аналоги логических операций в повседневной жизни

РЕШЕНИЕ. Множество всех случаев, когда А истинно: p = 2, 4, 6, 8, 10,… Множество всех случаев, когда В истинно: p = 3, 6, 9,… Множество всех случаев, когда истинно А+ В: p = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10,…, т.е. объединение двух множеств.

РЕШЕНИЕ. Множество всех случаев, когда А истинно: p = 5, 10, 15, 20, 25, … Множество всех случаев, когда В истинно: p = 1, 2, 3,…, 19. Множество всех случаев, когда истинно А & В: p = 5, 10, 15, т.е. пересечение двух множеств.

При анализе этого примера можно перебрать следующие варианты:

o А – ложно, В – ложно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В – ложно». Например, х = 4, 17, 22…

o А – ложно, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В – истинно». Например, х = 6, 12, 21…

o А – истинно, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – истинно, то и В – истинно». Например, х = 9, 18, 27…

o А – истинно, В – ложно. Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3, т.е. истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.

Примеры для повторения операции эквивалентности

Когда в зимний день светит солнце и «кусает» мороз, это значит, что атмосферное давление высокое.

Высказывание А: «сумма цифр, составляющих число х, делится на 3», высказывание В: «х делится на 3». Операция означает следующее: «число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

2.РЕАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Можно начать урок с исторической справки.

С 1867 года американский логик Чарльз Сандерс Пирс ( в его честь названа одна из логических операций – «стрелка Пирса») работает над модификацией и расширением булевой алгебры. Пирс первым осознал, что бинарная логика имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (что соответствует значению Истина), либо не пропускает (что соответствует значению Ложь). Позже Пирс даже придумал простую электрическую логическую схему, но так и не собрал ее.

Учитель предлагает учащимся самим воспроизвести возможный ход рассуждений Ч.Пирса.

Вопрос: Есть электрическое устройство, которым мы пользуемся каждый день. Оно реализует логическую операцию отрицания. Подумайте, что это за устройство?

Ответ: Выключатель. Если свет не горел, он его включает, если горел – выключает.

Вопрос: Вспомните Новый год и старую елочную гирлянду. Почему она была недолговечна?

Ответ: В старых гирляндах лампочки включались последовательно. Гирлянда горела только тогда, когда все лампочки были исправны. Стоило перегореть хотя бы одной, вся гирлянда не работала.

Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?

Ответ: На логическое умножение.

Вопрос: А в современных гирляндах как подключаются лампочки?

Ответ: Параллельно. Гирлянда горит, если хотя бы одна лампочка исправна.

Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?

Ответ: На логическое сложение.

Учитель подводит итоги диалога: подобно Пирсу, вы сейчас убедились, как хорошо реализуются логические операции в простейших схемах. В настоящее время существуют электронные схемы, реализующие все логические операции.

3. В КАКОМ ВИДЕ ЗАПИСЫВАЮТСЯ В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА И В РЕГИСТРАХ ПРОЦЕССОРА ДАННЫЕ И КОМАНДА

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем нуль (или наоборот).

4.ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ КОМПЬЮТЕРА.

Как при строительстве дома применяют различного рода типовые блоки – кирпичи, рамы, двери и т.п., так и при разработке компьютера используют типовые электронные схемы. Каждая схема состоит из определенного набора типовых электронных элементов.

Электронным элементом называется соединение различных деталей, в первую очередь – диодов и транзисторов, а также резисторов и конденсаторов, в виде электрической схемы, выполняющей некоторую простейшую функцию.

Электронный элемент, реализующий логическую функцию, называется логическим элементом.

Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Тысячи микроскопических электронных переключателей в кристалле интегральной схемы сгруппированы в системы, выполняющие логические операции, т.е. операции с предсказуемыми результатами, и арифметические операции над двоичными числами. Соединенные в различные комбинации, логические элементы дают возможность компьютеру решать задачи, используя язык двоичных кодов.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер, регистр, сумматор.

Триггер – это логическая схема, способная сохранять одно из двух состояний до подачи нового сигнала на вход. Это, по сути, разряд памяти, способный хранить 1 бит информации.

Регистр – это устройство, состоящее из последовательности триггеров. Регистр предназначен для хранения многоразрядного двоичного числового кода, которым можно представлять и адрес, и команду, и данные.

Сумматор – это устройство, предназначенное для суммирования двоичных кодов.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий – значение «ложь («0»).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности – это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значениями истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

6. ЧТО ТАКОЕ СХЕМЫ И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис.1, а таблица истинности в таблице 1.

Источник

Лекция 3. Логические основы работы ЭВМ

3.1. Что такое алгебра логики

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий логические переменные, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

3.2. Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

3.3. В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах процессора данные и команды

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации.В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например:

3.4. Что такое логический элемент компьютера

Логический элемент компьютера — это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями ), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

3.5. Что такое схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ

С х е м а И

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 3.1.

Таблица истинности схемы И

x	y	x & y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x & y (читается как «x и y» ). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&» (читается как «амперсэнд» ), являющимся сокращенной записью английского слова and.

С х е м а ИЛИ

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами представлено на рис. 3.2. Знак «1» на схеме — от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как «x или y» ).

Таблица истинности схемы ИЛИ

x	y	x v y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

С х е м а НЕ

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рисунке 3.3.

Таблица истинности схемы НЕ

x
0	1
1	0

С х е м а И—НЕ

Таблица истинности схемы И—НЕ

x	y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

С х е м а ИЛИ—НЕ

Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ

x	y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

3.6. Что такое триггер

Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.

Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс). Условное обозначение триггера — на рис. 3.6.

На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов ( ).

Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие — нулем.

На рис. 3.7 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ—НЕ и соответствующая таблица истинности.

S	R	Q
0	0	запрещено
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	хранение бита

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8 х 2 10 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

3.7. Что такое сумматор

Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

1. цифра a i первого слагаемого;

2. цифра b i второго слагаемого;

3. перенос p i–1 из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра c i для суммы;

2. перенос p i из данного разряда в старший.

Входы			Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Например, схема вычисления суммы C = (с 3 c 2 c 1 c 0 ) двух двоичных трехразрядных чисел A = (a 2 a 1 a 0 ) и B = (b 2 b 1 b 0 ) может иметь вид:

3.8. Какие основные законы выполняются в алгебре логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений :

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Закон	Для ИЛИ	Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания

3.9. Как составить таблицу истинности

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Переменные		Промежуточные логические формулы					Формула
0	0	1	0	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	1

2. Таблица истинности для формулы :

Переменные		Промежуточные логические формулы				Формула
0	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	0

3. Таблица истинности для формулы :

Переменные			Промежуточные логические формулы					Формула
0	0	0	1	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	0	0	0
1	1	1	0	1	0	0	0	0

3.10. Как упростить логическую формулу

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1)
(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);

2)
(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

4)
( вводится вспомогательный логический сомножитель ( ); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

5)
(сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

6)
(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);

7)
(к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);

8)
(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

9)
(используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции);

10)
(используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге. Навыки приходят с опытом.

3.11. Что такое переключательная схема

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

1. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

2. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

3. Найдем функцию проводимости схемы:

4. Упростим переключательные схемы:

Источник